venerdì 8 giugno 2018

Maria Brazda: La colonna Traiana

La Colonna Traiana
di Maria Brazda

Procedendo lungo via dei Fori Imperiali in direzione del Vittoriano si può vedere, sulla destra, il foro dell’imperatore Traiano. Ciò che colpisce immediatamente è la maestosa e monumentale colonna fatta erigere dallo stesso imperatore per celebrare la vittoria in Dacia.


La colonna Traiana è un’invenzione del tutto nuova nel panorama artistico romano; nel corso del tempo, infatti, colonne onorarie erano state costruite anche a Roma. 
Ma la novità risiede nel fregio decorativo a spirale che avvolge l’intera colonna e che era sormontata dalla statua dell’imperatore Traiano (sostituita nel 1587 con l'attuale statua di San Pietro).
La colonna è formata da 17 rocchi di marmo greco e raggiunge un’altezza di 39,86 metri ca., se si include il piedistallo alla base e la statua alla sua sommità.


Il rilievo molto probabilmente è stato creato una volta che la colonna era stata totalmente montata e si svolge in ventitré giri per duecento metri di rilievo. 
Man mano che si sale, i pannelli decorativi posti in alto aumentano in grandezza per contrastare l’effetto ottico della distanza e permettere, dunque, a tutte le fasce di apparire ad altezza uniforme.

Le figure sono ottenute a rilievo ed evidenziate con un solco di contorno che mette in risalto il disegno, mentre alcuni elementi delle figure sono ottenuti ad incavo.



La colonna,presa in considerazione da un punto di vista geomatrico, è definibile come cilindro.



Il cilindro difatti è un solido che si ottiene dalla rotazione di un rettangolo attorno a uno dei suoi lati.
Il lato al quale avviene la rotazione è detto altezza del cilindro,mentre l'altro è detto raggio di base,o semplicemente raggio,inteso come raggio del cerchio che si viene a formare a seguito della rotazione.


Fonti
Cricco, di Teodoro, Storia dell'Arte, Vol I, Zanichelli, 2007
Di Maria Brazda

Quando dal cielo piovono gelati: il Cono di Colonia di Claes Oldenburg!

Quando dal cielo piovono gelati:
Il Cono di Colonia  di Claes Oldenburg!

Tutti noi, da bambini, abbiamo comprato un cono gelato, per poi lasciarlo cadere rovinosamente al suolo dopo pochi secondi.
Il proprietario del "Cono di Colonia" caduto sul tetto della Neumarkt Galerie di Colonia però, doveva essere un po’ “cresciuto” ....

C.Oldenbutg, Cono Rovesciato, Neumarkt Galerie, Colonia

Realizzata nel 2001 dall'artista svedese Claes Oldenburg, la scultura chiamata " il Cono di Colonia" , venne posta sulla cima della "Neumarkt Galerie".

L'opera durante il suo montaggio nel 2001

 La forma  riprende le guglie della cattedrale della città tedesca, mentre il nome “cone” entra in assonanza con “Cologne”.

Una guglia della Cattedrale comparata con l'opera



La scultura, come dice il nome, è composta principalmente dalla forma geometrica del cono.
Riproduzione in scala del Cono di Colonia 


Il Cono
In geometria, il cono è un solido di rotazione che si ottiene ruotando un triangolo rettangolo intorno a uno dei suoi cateti


Il cateto intorno al quale avviene la rotazione è detta altezza del cono, mentre l'altro cateto viene a coincidere con il raggio del cerchio di base.
L'ipotenusa prende il nume di apotema del cono.

FORMULE




Fonti

Quando Geometria e Tradizione si fondono: Corpus Hypercubus di Salvador Dalì

Quando Geometria e Tradizione si fondono: 
Corpus Hypercubus di Salvador Dalì

Nel 1954 Salvador Dalì realizzò un'opera intitolata "Corpus Hypercubus"

S.Dalì, Corpus Hypercubus, 1954, olio su tela, 58,4x73,7, Metropolitan Museum of Art, New York

Il titolo "Hypercubus" fa riferimento al fatto che la figura di Cristo non è inchiodata alla croce, come, invece, accade nell'iconografia tradizionale della Crocifissione, ma è magicamente sospesa nell'aria, accostata ad una struttura fatta da otto cubi, che simulano una croce.
   

      Schema degli otto cubi che formano la croce realizzato con Paint 3D

    


Il cubo o esaedro regolare è un poliedro particolare composto da 6 facce, 8 vertici e 12 spigoli, questi ultimi di eguale misura.

Il suo volume si ottiene elevando alla terza la misura del lato







                         Cubo realizzato con Paint 3D

In realtà gli otto cubi  esprimono la rappresentazione dello sviluppo, nello spazio tridimensionale, di un solido che si studia nella geometria della "quarta dimensione": il tesseratto, ossia un ipercubo quadridimensionale.






Uno dei cubi che formano la croce comparato con un ipercubo


L'ipercubo è un solido (avente come "facce" otto cubi) che non è possibile vedere, essendoci preclusa la quarta dimensione, ma solo intuire. 

L'ipercubo è Figura geometrica definita in uno spazio quadridimensionale (iperspazio), che può essere considerata un’estensione del cubo, così come questo è un’estensione del quadrato (figura bidimensionale) in uno spazio tridimensionale: un ipercubo è il volume quadridimensionale spazzato da un cubo orientato secondo una terna di assi cartesiani e spostato lungo il quarto asse di una lunghezza pari al suo lato; le ‘facce’ dell’i. sono cubi, in numero di otto, ossia due per ciascuna delle quattro dimensioni



Fonti 
Di Gaia Checcarelli

Cupola del Duomo di Santa Maria del Fiore di Firenze



« Chi mai sì duro o sì invido non lodasse Pippo architetto vedendo qui struttura sì grande, erta sopra e' cieli, ampla da coprire con sua ombra tutti e' popoli toscani, fatta sanza alcuno aiuto di travamenti o di copia di legname, quale artificio certo, se io ben iudico, come a questi tempi era incredibile potersi, così forse appresso gli antichi fu non saputo né conosciuto? » (Leon Battista Alberti)

Risultati immagini per cupola brunelleschi figura geometrica

La Cupola del Duomo di Santa Maria del Fiore di Firenze, innalzata dal Brunelleschi fra il 1420 ed il 1436, ha sempre colpito la fantasia dei visitatori e l’interesse degli studio- si; questo è dovuto sia alla sua bellezza, sia alla sua innovativa (e misteriosa) tecnica costruttiva, sia alle sue dimensioni: il suo diametro interno misura 45 metri, quello esterno 54 metri, la sua base si trova a 55 metri dal suolo; la Cupola rag- giunge 91 metri e, con la Lanterna, che pesa circa 750 tonnellate, essa arriva a circa 116 metri; ilsuo peso è di circa 29.000 tonnellate. 
Anzitutto, è interessante notare che le misure degli elementi che compongono la Cupola determinano delle proporzioni auree. Infatti, la Cupola inizia da un’altezza di 55 metri, poggia su un tamburo di 13 metri, è alta mediamente 34 metri ed è sor- montata dalla Lanterna di 21 metri. Non deve meraviglia- re il fatto che la matematica si sia rivelata uno strumento così notevole; infatti Brunelleschi era anche un matematico: egli fu il primo che dette le regole geometriche della prospettiva e, per questo motivo, è citato in tutti i più importanti testi di storia della matematica. 
a Cupola di Santa Maria del Fiore è a base ottagonale, a differenza di altre cupole di dimen- sioni analoghe che sono a base circolare (cupole di rotazione), come il Pantheon e la Cupola di San Pietro a Roma, la Cupola di Santa Sofia ad Istanbul. Brunelleschi sapeva che le cupole di rotazione sono più semplici da costruire, rispetto a quelle a base poligonale, ed hanno meno pro- blemi dal punto di vista statico perché le forze si distribuiscono in maniera uniforme. Per questo motivo egli propose, con un raccordo murario, di rendere circolare la sua base; tuttavia, i fiorentini si opposero perché volevano che la Cupola del Duomo avesse la stessa forma ottagonale di quel- la (più piccola) del Battistero di San Giovanni. È interessante ricordare che quasi tutti i battisteri e le fonti battesimali hanno forma ottagonale per quello che affermò Sant’Ambrogio nel IV secolo: Dio aveva creato il mondo in sei giorni e il settimo si riposò, ma l’opera non era completa per la presenza del peccato originale; l’ottavo giorno Gesù Cristo, con il Battesimo, tolse il peccato originale e completò l’opera del Padre.
Per le cupole di rotazione la tecnica costrut- tiva è abbastanza semplice: basta, ad esempio, disporre i mattoni secondo anelli circolari sovrap- posti (i paralleli), il cui diametro si restringe man mano che si sale verso la sommità. In questo modo la struttura diventa autoportante, cioè si sostiene da sola durante la sua costruzione. Notiamo che i paralleli delle cupole di rotazione sono sempre perpendicolari alle linee meridiane, proprio come i meridiani ed i paralleli della superficie terrestre. Questa tecnica non è possibile in una struttura a base ottagonale a causa della discontinuità che si presenterebbe nei vertici dell’ottagono: infatti, in questo modo, i letti di posa dei mattoni, appartenenti a due vele adiacenti, formerebbero un angolo proprio nel punto in cui le tensioni sono maggiori .
L’idea di Brunelleschi è stata quella di partire disponendo con continuità i mattoni negli spigoli d’angolo, come se la Cupola fosse di rotazione (e, quindi, autoportante in fase costruttiva).
Per fare ciò, egli ha collocato i mattoni sempre perpendicolarmente alle linee meridiane (come nelle cupole di rotazione); in questo modo i mat- toni si dispongono secondo quelle linee (dette lossodromiche ortogonali ), che possiamo osservare sulla Cupola (le corde blande). In altre parole, le corde blande corrispondono ai paralleli delle cupole di rotazione: la differenza consiste nel fatto che in queste ultime essi sono, come dice il nome, paralleli al piano terra, mentre nella Cupola del Brunelleschi essi hanno l’andamento curvilineo che vediamo


Ma andando più nello specifico cosa è una cupola?
Risultati immagini per cupola brunelleschi figura geometrica
La cupola è una volta a calotta con perfetta simmetria centrale, con base poligonalecircolare o ellittica e profilo a semicerchio, parabola oppure ovoidale. La cupola più tipica è a base circolare. LA cupola emisferica (o parabolica, o ellissoidale, come nel duomo di Pisa) è una figura o luogo di punti individuata come un arco "ruotato" attorno al proprio asse. Si parla in questo caso di cupola di rotazione. Costruire una cupola di rotazione è teoricamente sempre possibile, in quanto la cupola è costituita da infiniti archi, ciascuno dei quali una volta completato si reggerà da solo. Cominciando a costruire la cupola dai bordi si realizzeranno piccoli archi in grado di reggersi da soli che a loro volta potranno sostenere archi più ampi addossati ai precedenti, che una volta completi saranno autoreggenti.La preoccupazione dei capomastri che si succedettero nei cantieri del Duomo era motivata dal fatto che il progetto prevedeva una cupola ottagonale a facce piane, che non è un solido di rotazione. La cupola del Duomo di Firenze non è una cupola ma una volta ottagonale, descrivibile come l'intersezione a 45° di due volte a pianta quadrata (molto simili, in effetti, alle volte della navata della stessa Cattedrale). A differenza di una cupola di rotazione, una volta non è autoreggente. L'impiego di centine, cioè di impalcature lignee cui affidare il sostegno delle murature in costruzione fino alla presa delle malte, era in questo caso indispensabile. Fra l'altro in Italia non era possibile ottenere le gigantesche travi disponibili invece in Nord Europa. Ma anche le immense travi usate per le cattedrali di Francia e Inghilterra non sarebbero bastate a sostenere volte come quelle che si dovevano costruire.


Link:

giovedì 7 giugno 2018

Battistero di Firenze

Il battistero di San Giovanni Battista sorge di fronte alla cattedrale di Santa Maria  Del Fiore, in Piazza San Giovanni . Dedicato al patrono della città di Firenze, ha la dignità di  basilica minore.
Nel 1128 l'edificio diventò ufficialmente battistero cittadino e intorno alla metà dello stesso secolo venne eseguito un rivestimento esterno in marmo, successivamente completato anche all'interno; il pavimento in tarsie marmoree venne realizzato nel 1209. Secondo alcuni la cupola sarebbe stata realizzata nella seconda metà del XIII secolo, ma di ciò non esiste nessun documento, e tecnicamente l'ipotesi è assai discutibile. I mosaici della scarsella risalgono verso il 1220 e successivamente fu eseguito il complesso mosaico della cupola a spicchi ottagonali, al quale si lavora tra il 1270 e il 1300con l'intervento di frate Jacopo e la partecipazione di Cimabue, grandissimo pittore dell’epoca
Il battistero ha una pianta ottagonale, con un diametro di 25,60 m, quasi la metà di quello della cupola del duomo. L'ottagono è già figura tipica dei battisteri, soprattutto medievali e di ispirazione bizantina, di cui l'ipotesi più probabile è quella di ricordare "l'ottavo giorno" della settimana, che nel Nuovo testamento del Cristianesimo e simbolo, ricorrente in quell’epoca  di Resurrezione  ed Eternità.
La necessità di un edificio di vaste dimensioni si spiega con l'esigenza di accogliere la folla che riceveva il battesimo solo in due date prestabilite all'anno. Anticamente era sopraelevato di alcuni gradini, scomparsi con l'innalzamento graduale del piano del calpestio, che leonardo Da Vinci aveva pensato di ricreare studiando un modo per sollevare in blocco l'edificio e ricreare una nuova piattaforma.
L'edificio è coperto da una cupola ad otto spicchi, mascherata all'esterno dall'attico e coperta da un tetto a piramide schiacciata. Sul lato opposto all'ingresso sporge il corpo dell'abside rettangolare.
L’esterno in marmo bianco di Carrara è scandito da tre fasce orizzontali, ornate da riquadri geometrici, quella mediana occupata da tre archi per lato, nei quali sono inserite superiormente finestre con timpani. Ai pilastri in marmo verde del registro inferiore corrispondono colonne poligonali in strisce bianche e nere in quello superiore, reggenti gli archi a tutto sesto. I pilastri angolari, originariamente in pietra serena, furono poi rivestiti pure di marmo. Si tratta di uno spartito di gusto classico, usato già in altri monumenti romanici come la facciata di San Miniato al monte, che testimonia il perdurare a Firenze della tradizione architettonica della Roma antica.



Poliedri nell'arte: il dodecaedro stellato


Paolo Uccello (1397-1475) fu uno dei primi artisti a rappresentare un poliedro.

Pittore e mosaicista partecipe della scena artistica fiorentina d’inizio Rinascimento, soggiornò a Venezia tra il 1425 e il 1431; della sua attività nella città è rimasto un famoso mosaico nel pavimento della Basilica di San Marco, il “Dodecaedro stellato”.





L’immagine del dodecaedro stellato di Paolo Uccello è stata utilizzata nel 1986 come simbolo della Biennale d’ Arte di Venezia dedicata al tema Arte e Scienza.




Il mosaico è una Ruota prospettica con poliedro inscritto: il poliedro rappresentato è un dodecaedro stellato, le cui facce sono formate da dodici poligoni stellati.
Il dodecaedro stellato fa parte di un gruppo di quattro solidi chiamati poliedri di Keplero-Poinsot. 
Esistono due tipi di dodecaedro stellato: Grande e Piccolo. Quello della Basilica di San Marco è un Piccolo dodecaedro stellato. 
Attorno al dodecaedro ci sono 12 piramidi a base pentagonale.










“In questo mosaico Paolo Uccello anticipa di più di un secolo e mezzo la scoperta attribuita a Keplero del dodecaedro stellato” (Nicoletta Sala e Gabriele Cappellato, Viaggio matematico nell’arte e nell’architettura, Franco Angeli, 2012, p. 24). 

In geometria solida il piccolo dodecaedro stellato è uno dei quattro poliedri di Keplero-Poinsot.
Le facce di questi poliedri si intersecano vicendevolmente: due di questi, scoperti da Keplero, hanno come facce poligoni regolari stellati; altri due, scoperti da Louis Poinsot, hanno facce regolari non stellate, ma comunque intrecciate.



Il piccolo dodecaedro stellato è stato scoperto da Keplero: è un poliedro "regolare" ma non convesso. Le sue 12 facce sono poligoni stellati e si intersecano in più punti. I suoi vertici coincidono con quelli di un icosaedro.
Come tutti i poliedri regolari, il piccolo dodecaedro stellato ha tutte le facce regolari ed identiche, tutti gli spigoli della stessa lunghezza e lo stesso tipo di cuspide ad ogni vertice.
Lo stesso solido può essere interpretato con vertici, spigoli e facce diverse: è possibile infatti considerare "facce" soltanto i vari triangoli che stanno effettivamente sul bordo del poliedro. In questo caso si ottengono 60 facce, 90 spigoli e 32 vertici: da un punto di vista combinatorio, con questa descrizione il poliedro è un pentacisdodecaedro, in cui alcuni vertici sono stati però spostati verso l’esterno.





Grafo di un piccolo dodecaedro stellato
Modello di un piccolo dodecaedro stellato















Bibliografia:


De Chirico: Il cattivo genio del re

De Chirico
Il cattivo genio del re e la geometria solida


Giorgio De Chirico, artista surrealista italiano, è noto per i suoi dipinti metafisici ricchi di figure geometriche e "Il Cattivo genio del re non è da meno: nell'opera infatti sono presenti diverse figure geometriche solide, tra cui un cono e diverse sfere.
Una particolarità del quadro e del suo surrealismo è il fatto che, nonostante il piano su cui poggiano sia inclinato, le varie sfere sono perfettamente immobili, senza rotolare come dovrebbero.   





●La sfera dal latino sphaera e dal greco σϕαρα «palla da gioco, sfera», è una figura geometrica solida formata da punti dello spazio aventi da un punto fissato (centro della sfera) distanza uguale o minore di un segmento dato (raggio della sfera)


●Il cono, dal latino conus e dal greco κνος, è una figura geometrica solida con base circolare a vertice ottenuta dalla rotazione di 360° dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo attorno al suo cateto.

 



Bibliografia:
Treccani, cono
Treccani, sfera
Wikipedia de Chirico
Blogbaruchcuny




Valentina Canu II B