Matematica e Fisica A.S. 2018/19: DIVERTIMENTO GEOMETRICO

Diceva Newton che per vedere lontano bisogna salire sulle spalle dei giganti: ovviamente in senso figurato, cioè studiando le loro opere. Niente di meglio, dunque, per imparare la geometria, che affrontare i monumentali Elementi di Euclide e i cristallini Fondamenti di Hilbert, che a duemila anni di distanza fra loro hanno sistematizzato l'argomento secondo i canoni di rigore delle rispettive epoche.

Lo studio della geometria ha costituito una parte essenziale delle matematica nelle sue più svariate forme nel corso dei secoli. Non stupisce perciò che nell'affrontare e nel tentativo di risolvere problemi derivanti da essa stessa si siano introdotti per la prima volta nuovi metodi e nozioni che sono poi diventati patrimonio della matematica.

Più in generale, nell'era di vuoto pubblicitario nel quale viviamo ,non solo umanamente ma anche matematicamente, che ha come fine lo sviluppo e non il progresso, rivolgere uno sguardo alla storia ci insegnerà sia come i cambiamenti profondi si presentino ad un ritmo secolare e non settimanale, sia dove stiano le radici e le giustificazioni delle "novità" di oggi.

Dimostrazione geometrica:

La geometria come ci può suggerire il suo nome(geo "terra" e metrein "misura") all'inizio fu agrimensura, cioè una branca della topografia che tratta la misura planimetrica di superfici agrarie e che usa strumenti per scomporre il terreno in figure semplici, misurabili numericamente con le formule della geometria piana. Essa mise insieme alcune osservazioni fatte da egizi e babilonesi, alcune corrette altre sbagliate; il fatto che queste intuizioni portò ad uno stimolo interno al mondo geometrico per cui si incominciò a giustificare i risultati matematici. Ci fu inoltre uno stimolo esterno dovuto questo però a motivi prettamente politici, in quanto la democrazia greca andò a sostituire il totalitarismo babilonese ed egiziani, quindi ci fu più libertà di parola e ora un intellettuale greco poteva dire la sua e anche non accettare la soluzione astratta di un problema come poteva essere la lettura di un oracolo. Quindi Talete da Mileto uno dei sette saggi dell'antichità e considerato anche il primo filosofo del pensiero occidentale introdusse il concetto di dimostrazione e intraprese uno sviluppo logico della geometria.

-busto di Talete

Platone e Aristotele:

La nuova disciplina matematica divenne ben presto un modello di ragionamento ma portò con se anche dei nuovi e mai affrontati problemi di giustificazione. Platone che insieme al maestro Socrate e all'allievo Aristotele sono considerati coloro che hanno messo le basi del pensiero filosofico occidentale, si interessò alla natura degli oggetti matematici e cercò di fornire una spiegazione su cosa fossero le figure geometriche. La sua soluzione di tale problema portò alla creazione di una nuova filosofia: le figure geometriche sono delle idealizzazioni degli oggetti percepiti con le sensazioni, poiché queste idealizzazioni hanno una perfezione che gli oggetti percepiti non posseggono, esse non solo esistono indipendentemente da taluni oggetti e formano un mondo parallelo a quello sensoriale, quindi al nostro, ma sono anche la vera realtà di cui il nostro mondo sensoriale è come se fosse solamente un'immagine sbiadita allo specchio. Dunque la geometria è il mezzo che possiamo usare per metterci in contatto con il mondo delle idee e poiché Platone vedeva nella matematica solo un metodo per venire a contatto con il mondo delle idee non approfondi mai il ruolo della deduzione. Diverso fu il suo allievo Aristotele che ebbe un interesse maggiore per il metodo matematico; nelle sue due opere l'Organon e la Metafisica organizzò la logica come una scienza del ragionamento, dicendo che le sue leggi erano state formulate sul modello delle dimostrazioni matematiche ma disse anche che la logica doveva essere considerata indipendente dalla matematica; in particolare la deduzione poteva essere il solo modo di stabilire la verità di un qualsiasi enunciato matematico.

-Platone, a sinistra e Aristotele a destra nel quadro Scuola di Atene di Raffaello Sanzio

Assiomatizzazione euclidea:

Il matematico greco Euclide basandosi sugli Elementi di Ippocrate scrisse i libri I-IV dei suoi Elementi. Questi divennero per la matematica come un testo sacro e sono fra i libri più ristampati di sempre come la Bibbia. Volgendo lo sguardo alla deduzione si nota che Euclide separa le assunzioni dai teoremi, seguendo Aristotele che capi che "non tutto può essere dimostrato, perché questo porterebbe ad un regresso infinito"(da Metafisica). Il matematico separa anche matematica e logica, in particolar modo le assunzioni sono divise in assiomi logici e postulati matematici; anche in questo caso possiamo notare che Euclide segue il pensiero di Aristotele. I postulati geometrici prodotti da Euclide sono solo cinque sempre in accordo con Aristotele che diceva "le scienze basate su poche assunzioni sono le più esatte"( da Metafisica). Il libro I finisce con il teorema di Pitagora, altro matematico greco, possiamo leggerlo all'incontrario e accorgerci che altro non è che lo sviluppo necessario per permettere la dimostrazione che il matematico aveva in mente.